Question

设f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)是偶函数，求f(2α-π)的值.

Answer 1

思路分析：由f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数知，f(-x)=f(x)在f(x)的定义域R内恒成立，由此可确定α,进而可确定f(2α-π)的值.

解：∵f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数，且定义域为R，

∴对x∈R有f(-x)=f(x)恒成立,

    即sin(x+α)+cos(x-α)

=sin(-x+α)+cos(-x-α),

    亦即2（sinα+cosx）sinx=0对x∈R恒成立，

∴sinα+cosα=0,

∴α=kπ-,

∴f(2α-23π)=sin(3α-π)+cos(α-π),

∴f(2α-π)=sin(3kπ-π)+cos(kπ-π),

=sin［(kπ-π)-］+cos(kπ-π)

=-cos(kπ-π)+cos(kπ-π)=0.