题目内容

在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使|
OM
|：|
OA
|=1：3，|
ON
|：|
OB
|=1：4，设线段AN与BM交于点P，记
OA
=
a
，
OB
=
b
，用
a
，
b
表示向量
OP
．
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：由于A，P，N三点共线，由向量共线定理可得：存在实数λ使得
OP
=λ
OA
+(1-λ)
ON
=λ
OA
+
1-λ
4
OB
，同理可得：存在实数λ使得
OP
=μ
OM
+(1-μ)
OB
=
1
3
μ
OA
+(1-μ)
OB
．再利用共面向量基本定理可得：
λ=
1
3
μ
1-λ
4
=1-μ
，解得即可．
解答： 解：∵A，P，N三点共线，∴存在实数λ使得
OP
=λ
OA
+(1-λ)
ON
=λ
OA
+
1-λ
4
OB
，
∵B，P，M三点共线，∴存在实数λ使得
OP
=μ
OM
+(1-μ)
OB
=
1
3
μ
OA
+(1-μ)
OB
．
由共面向量基本定理可得：
λ=
1
3
μ
1-λ
4
=1-μ
，解得
λ=
3
11
μ=
9
11
．
∴
OP
=
1
3
×
9
11
OA
+(1-
9
11
)
OB
=
3
11
a
+
2
11
b
．
点评：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|=3，则|BF|=（　　）
A、
1
2
B、
4
3
C、
3
2
D、2
若等差数列{an}满足：
a11
a12
＜-1，且其前n项和Sn有最大值．则当数列{Sn}的前n项和取最大值时，n的值为（　　）
A、12B、11C、23D、22
已知抛物线M：y2=2px（ p＞0 ）上一个横坐标为-3的点到其焦点的距离为4，过点P（2，0）且与x轴垂直的直线l1与抛物线M相交于A、B两点，过点P且与x轴不垂直的直线l2与抛物线M相交于C、D两点，直线BC与DA相交于点E．
（Ⅰ）求抛物线M的方程；
（Ⅱ）请判断点E的横坐标是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1（-2，0）、F2（2，0），点P（3，
7
）在双曲线C上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）过双曲线C的右焦点的直线l交双曲线于A，B两点，且|AB|=4
2
，求直线l的方程．
己知两点F1（-2，0），F2（2，0），动点P满足条件||PF1|-|PF2||=2
3
．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程E．
（Ⅱ）是否存在过点G（2，2）的直线l与曲线E交于不同的两点N，N，使G平分线段MN，试证明你的结论．
（Ⅲ）若直线l：y=kx+
2
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O为原点），求k的取值范围．
解方程：x
3
4
=2
2
．
已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax（a∈R）
（1）若函数y=f（x）和y=g（x）的图象无公共点，试求实数a的取值范围；
（2）若存在两个实数x1，x2且x1≠x2，满足f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），求证x1x2＞e2．
如图，已知四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，CD=2，PA=AD=AB=1，E为PC的中点．
（1）求证：EB∥平面PAD；
（2）求直线BD与平面PCD所成的角；
（3）求二面角A-PC-D的大小．

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