Question

已知函数f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[0，

π

4

]，求函数f（x）的取值范围；
（3）函数f（x）的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简可得f（x）=sin（2x+

π

3

）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ解不等式可得；
（2）由x∈[0，

π

4

]可得2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，由三角函数的性质易得值域；
（3）将f（x）的图象上所有的点向右平移

π

6

个单位长度即可．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3

•

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin（2x+

π

3

）
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ可得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，
∴f（x）的单调递增区间为：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）．
（2）∵x∈[0，

π

4

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴当2x+

π

3

=

π

2

即x=

π

12

时，f（x）_max=1，
当2x+

π

3

=

5π

6

即x=

π

4

时，f（x）_min=

1

2

，
∴

1

2

≤f（x）≤1．
（3）将f（x）的图象上所有的点向右平移

π

6

个单位长度得到y=sin2x的图象，其对应的函数即为奇函数．（答案不唯一）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，涉及三角函数的单调性和图象变换，属基础题．