Question

20．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，EF∥AC，AD=2，EA=ED=EF=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：AD⊥BE；
（Ⅱ）若BE=$\sqrt{5}$，求三棱锥F-BCD的体积．

Answer 1

分析 解法一：（Ⅰ）取AD中点O，连结EO，BO．证明EO⊥AD．BO⊥AD．说明AD⊥平面BEO，即可证明AD⊥BE．
（Ⅱ）证明EO⊥OB，然后证明EO⊥平面ABCD．通过V_F-BCD=V_E-BCD求解即可．
解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）证明EO⊥OB，利用AD⊥平面EOB，以及V_F-BCD=V_E-BCD=V_E-ABD求解即可．

解答 解法一：（Ⅰ）如图，取AD中点O，连结EO，BO．

∵EA=ED，∴EO⊥AD．…（1分）
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，
又∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BA=BD，
∴BO⊥AD．（3分）
∵BO∩EO=O，BO?平面BEO，EO?平面BEO，∴AD⊥平面BEO，（5分）
∵BE?平面BEO，∴AD⊥BE．（6分）
（Ⅱ）在△EAD中，$EA=ED=\sqrt{3}$，AD=2，
∴$EO=\sqrt{A{E^2}-A{O^2}}=\sqrt{2}$，
∵△ABD为等边三角形，∴AB=BD=AD=2，∴$BO=\sqrt{3}$．（7分）
又 $BE=\sqrt{5}$，∴EO²+OB²=BE²，∴EO⊥OB，（8分）
∵AD∩OB=O，AD?平面ABCD，BO?平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．（9分）
又${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}•AD•OB=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，（10分）
∴${S_{△BCD}}={S_{△ABD}}=\sqrt{3}$．
又∵EF∥AC，
∴V_F-BCD=V_E-BCD（11分）=$\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•EO=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．（6分）

（Ⅱ）在△EAD中，$EA=ED=\sqrt{3}$，AD=2，

∴$EO=\sqrt{A{E^2}-A{O^2}}=\sqrt{2}$，
∵△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=AD=2，∴$BO=\sqrt{3}$．（7分）
又 $BE=\sqrt{5}$，∴EO²+OB²=BE²，∴EO⊥OB，（8分）
所以${S_{△EOB}}=\frac{1}{2}•EO•OB=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．（9分）
又S_△BCD=S_△ABD，EF∥AC，AD⊥平面EOB，
∴V_F-BCD=V_E-BCD=V_E-ABD（10分）=$\frac{1}{3}{S_{△EOB}}•AD=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{6}}}{2}×2=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．（12分）

点评 本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．