Question

12．用定义法讨论函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在定义域上的单调性，并画出图象．

Answer 1

分析 可先求出函数f（x）的定义域为{x|x≠}，根据单调性的定义，设两个变量x₁，x₂∈{x|x≠0}，且x₁＜x₂，作差$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$，可以判断x₁-x₂＜0，而根据对$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$的符号的判断，便可找出f（x）的单调区间，即得出f（x）的单调性，然后根据函数f（x）的单调下便可画出图象．

解答 解：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
设x₁≠0，x₂≠0，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{4}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0；
∴①若0＜x₁x₂＜4，则$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
此时，x₁，x₂∈（-2，0），或x₁，x₂∈（0，2）；
∴f（x）在（-2，0），（0，2）上都为减函数；
②若x₁x₂＞4，则$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
此时，x₁，x₂∈（-∞，-2），或x₁x₂∈（2，+∞）；
∴f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上都为增函数；
且f（-2）=-4，f（2）=4；
∴根据f（x）的单调性可以画出它的图象：
．

点评 考查函数定义域的概念，函数单调性的定义，根据单调性定义判断函数的单调性的方法和过程，以及根据函数单调性画出函数图象的方法，注意单调区间必须是连续的．