题目内容

17．已知数列{an}中a1=1，an+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，则a34=（　　）
A．$\frac{34}{103}$B．100C．$\frac{1}{100}$D．$\frac{1}{104}$

分析 an+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵an+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为3．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴an=$\frac{1}{3n-2}$．
则a34=$\frac{1}{100}$．
故选：C．

点评 本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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