Question

10．已知数列{a_n}中，$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$=a_n+1（n∈N₊），a₁=2．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，并求通项公式a_n；
（2）设b_n=a_na_n+1，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过对$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$=a_n+1（n∈N₊）两边同时取倒数可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项、公差均为$\frac{1}{2}$的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）裂项可知b_n=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 （1）证明：∵$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$=a_n+1（n∈N₊），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2+{a}_{n}}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项、公差均为$\frac{1}{2}$的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n}{2}$，
∴数列{a_n}通项公式a_n=$\frac{2}{n}$；
（2）解：由（1）可知b_n=a_na_n+1=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴数列{b_n}的前n项和T_n=4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=4（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{4n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．