题目内容
10.正四棱锥V-ABCD的侧棱长与底面边长相等,E是VA中点,O是底面中心,则异面直线EO与BC所成的角是( )A. | 30° | B. | 45° | C. | 60° | D. | 90° |
分析 以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OV为z轴,建立空间直角坐标系,由此能求出异面直线EO与BC所成的角的大小.
解答 解:以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OV为z轴,建立空间直角坐标系,
设正四棱锥V-ABCD的侧棱长与底面边长都为2,
则O(0,0,0),A($\sqrt{2}$,0,0),V(0,0,$\sqrt{2}$),E($\frac{\sqrt{2}}{2}$,0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),
B(0,$\sqrt{2}$,0),C(-$\sqrt{2}$,0,0),
∴$\overrightarrow{OE}$=($\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}$),$\overrightarrow{BC}$=(-$\sqrt{2}$,-$\sqrt{2}$,0),
设异面直线EO与BC所成的角为θ,
则cosθ=|cos<$\overrightarrow{EO},\overrightarrow{BC}$>|=|$\frac{\overrightarrow{EO}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{EO}|•|\overrightarrow{BC}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}•\sqrt{2+2}}$|=$\frac{1}{2}$,
∴θ=60°,
∴异面直线EO与BC所成的角是60°.
故选:C.
点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
练习册系列答案
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A. | 4$\sqrt{2}$ | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | 8 | D. | 4 |
15.各棱长都为2的四棱锥,底面ABCD是正方形,将侧面PBC水平放置,则这个几何体的俯视图的面积为( )
A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ | D. | $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ |
20.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )
A. | $\frac{16}{3}$ | B. | $\frac{32}{3}$ | C. | $\frac{64}{3}$ | D. | 16 |