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3.从装有n+1个球(其中n个白球,1个黑球)的口袋中取出m个球(0<m≤n,m,n∈N),共有$C_{n+1}^m$种取法.在这$C_{n+1}^m$种取法中,可以分成两类:一类是取出的m个球全部为白球,一类是取出m-1个白球和1个黑球,共有$C_1^0•C_n^m+C_1^1•C_n^{m-1}=C_1^0•C_{n+1}^m$,即有等式:$C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m$成立.若(1≤k<m≤n,k,m,n∈N),根据上述思想化简下列式子$C_k^0•C_n^m+C_k^1•C_n^{m-1}+C_k^2•C_n^{m-2}+…+C_k^k•C_n^{m-k}$=的结果为( )A. | $C_{n+m}^m$ | B. | $C_{n+k}^k$ | C. | $C_{n+k}^m$ | D. | $C_{n+m}^k$ |
分析 从装有n+1个球(其中n个白球,1个黑球)的口袋中取出m个球(0<m≤n,m,n∈N),共有Cn+1m种取法.在这Cn+1m种取法中,可以分成两类:一类是取出的m个球全部为白球,另一类是,取出1个黑球,m-1个白球,则Cnm+Cnm-1=Cn+1m根据上述思想,在式子:Cnm+Ck1•Cnm-1+Ck2•Cnm-2+…+Ckk•Cnm-k中,从第一项到最后一项分别表示:从装有n个白球,k个黑球的袋子里,取出m个球的所有情况取法总数的和,故答案应为:从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数,根据排列组合公式,易得答案.
解答 解:在Cnm+Ck1•Cnm-1+Ck2•Cnm-2+…+Ckk•Cnm-k中,
从第一项到最后一项分别表示:
从装有n个白球,k个黑球的袋子里,
取出m个球的所有情况取法总数的和,
故答案应为:从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数Cn+km ,
故选:C.
点评 这个题结合考查了推理和排列组合,处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式,明白每一项所表示的含义,再结合已知条件进行分析,最后给出正确的答案.
练习册系列答案
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