Question

设,分别是椭圆：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求的取值范围；
（3）作直线与椭圆交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.

Answer 1

（1）；（2）或； （3）满足条件的实数的值为或.

试题分析：（1）设,的坐标分别为,其中
由题意得的方程为:
根据到直线的距离为,可求得，
将与联立即可得到.
（2）设,，由可得，代人椭圆的方程得，即可解得或.
（3）由, 设，根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为，代入椭圆的方程,整理得:
由韦达定理得,则,
得到线段的中点坐标为.注意讨论，的情况，确定的表达式，求得实数的值.
方法比较明确，运算繁琐些；分类讨论是易错之处.
试题解析：（1）设,的坐标分别为,其中
由题意得的方程为:
因到直线的距离为,所以有,解得     2分
所以有 ①
由题意知: ,即 ②
联立①②解得:
所求椭圆的方程为     4分
（2）由(1)知椭圆的方程为 
设,，由于,所以有
      7分
又是椭圆上的一点,则
所以
解得：或                  9分
（3）由, 设
根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为
把它代入椭圆的方程,消去,整理得:
由韦达定理得,则,
所以线段的中点坐标为
(1)当时, 则有,线段垂直平分线为轴
于是
由,解得:      11分
(2) 当时, 则线段垂直平分线的方程为
因为点是线段垂直平分线的一点
令,得:
于是
由,解得:
代入,解得:
综上, 满足条件的实数的值为或.       14分