Question

3．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=2，E，F是PA和AB的中点，求PA与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 连接AC和BD交于点O，分别以OA、OB、OE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由已知数据可得$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PB}$=（1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{PC}$=（0，0，-2），进而可得平面PBC的法向量，代入sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|计算可得．

解答 解：连接AC和BD交于点O，连接OE，由三角形的中位线可得OE∥PC，
可得OE⊥平面ABCD，由菱形的性质可得AC⊥BD，
分别以OA、OB、OE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图），
由题意可得A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，0，0），P（-1，0，2），
∴$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PB}$=（1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{PC}$=（0，0，-2），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面PBC的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+\sqrt{3}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-2z=0}\end{array}\right.$，
解得z=0，x=-$\sqrt{3}$y，取y=1，则$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
设PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|
=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{{2}^{2}+（-2）^{2}}•\sqrt{（-\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$

点评 本题考查直线和平面的夹角，建立空间直角坐标系并转化为向量的夹角是解决问题的关键，属中档题．