Question

13．已知已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴，y轴分别交于A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，若$\overrightarrow{AM}$=e$\overrightarrow{AB}$，则该椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 求出A，B的坐标，联立直线方程和椭圆方程，求得交点M，再由向量的共线知识，即可得到答案．

解答 解：由于直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A，B，
则A（-$\frac{a}{e}$，0），B（0，a），
$\left\{\begin{array}{l}{y=ex+a}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$消去y，
由e=$\frac{c}{a}$，得x²+2cx+c²=0，
解得M（-c，a-ec），
由|AM|=e|AB|，即有$\overrightarrow{AM}$=e$\overrightarrow{AB}$，即为
（-c+$\frac{a}{e}$，a-ec）=e（$\frac{a}{e}$，a），
即有a-ec=ae，由e=$\frac{c}{a}$可得1-e²=e，
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负的舍去），
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，考查共线向量的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．