Question

f（x）对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=

1

2

．
（Ⅰ）求f(

1

2

)和f(

1

n

)+f(

n-1

n

)(n∉N)的值；
（Ⅱ）数列{a_n}满足：a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)，数列{a_n}是等差数列吗？请给予证明；
（Ⅲ）令bn=

4

4an-1

，Tn=

b

2 1

+

b

2 2

+

b

2 3

+…+

b

2 n

，Sn=32-

16

n

．试比较T_n与S_n的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接代入x=

1

2

求得f(

1

2

)的值，代入x=

1

n

求得f(

1

n

)+f(

n-1

n

)(n∉N)的值．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中f(

1

n

) +f(

n-1

n

)=

1

2

，利用倒序相加法进行求解．
（Ⅲ）求得bn=

4

4an-1

=

4

n

，进而求得Tn，利用放缩法得到T_n≤S_n

解答：解：（Ⅰ）因为f(

1

2

) +f(1-

1

2

) =

1

2

，所以f(

1

2

) =

1

4

令x=

1

n

，得f(

1

n

) +f(1-

1

n

)  =

1

2

，即f(

1

n

) +f(

n-1

n

)=

1

2

（Ⅱ）a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)
又a_n=f（1）+f（

n-1

n

）+…f（

1

n

）+f（0）
两式相加 2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（

1

n

+

n-1

n

）]+[f（1）+f（0）]=

n+1

2

所以a_n=

n+1

4

，n∈N
又an+1-an=

n+1+1

4

-

n+1

4

=

1

4

．故数列{a_n}是等差数列．
（Ⅲ）bn=

4

4an-1

=

4

n

T_n=b₁²+b₂²++b_n²=16(1+

1

22

+

1

32

+…

1

n2

)≤16[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…

1

n(n-1)

]
=16[1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…(

1

n-1

-

1

n

)]
=16(2-

1

n

)=32-

16

n

=Sn．所以T_n≤S_n

点评：本题是数列与函数的综合题，考查了倒序相加法，放缩法等高中的数学基本方法，应该熟练掌握