Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x-3|-m}$的定义域为R．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）若m的最大值为n，解关于x的不等式：|x-3|-2x≤2n-4．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，利用基本不等式，可得求m的取值范围；
（Ⅱ）m的最大值为4，关于x的不等式：|x-3|-2x≤4，分类讨论，即可解关于x的不等式．

解答 解：（Ⅰ）由题意，|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立．
∵|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-）x-3）|=4，
∴m≤4；
（Ⅱ）m的最大值为4，关于x的不等式：|x-3|-2x≤4．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x-3-2x≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜3}\\{3-x-2x≤4}\end{array}\right.$，
∴x≥3或-$\frac{1}{3}$≤x＜3，
∴不等式的解集为{x|x≥-$\frac{1}{3}$}．

点评 本题考查恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．