Question

已知函数f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）
（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（2）方程f（x）=0是否有负根数？证明你的结论．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），a＞1时判断f′（x）的符号，即可判断出f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（2）f（x）=0是否有负数根，即看函数a^x和

x-2

x+1

交点的横坐标是否为负，所以通过画图即可得出结论．

解答： 解：（1）∵a＞1，∴f′（x）=axlna+

3

(x+1)2

＞0；
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增；
（2）

x-2

x+1

=1-

3

x+1

；
∴由f（x）=0得，ax=

3

x+1

-1；
∴函数a^x与

3

x+1

-1图象交点的横坐标即是上面方程的解，而

3

x+1

-1的图象是由

3

x

的图象沿x轴向左平移一个单位，向上平移一个单位得到，所以图象如下所示：
由图象可看出a^x与

3

x+1

-1图象交点的横坐标大于0；
即方程f（x）=0没有负数根．

点评：考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及指数函数的图象，反比例函数的图象，图象平移的知识．