Question

1．已知函数f（x）=2^|x-m|，若方程f（x）=2^|m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由f（x）=2^|m|得|x-m|=|m|，于是x²-2mx=0在[-4，+∞）上只有一解．对方程的个数进行讨论得出m的范围．

解答 解：∵f（x）=2^|m|，∴2^|x-m|=2^|m|，即|x-m|=|m|，∴x²-2mx=0．
∵方程f（x）=2^|m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解，x²-2mx=0在[-4，+∞）上只有一解．
（1）若△=4m²=0，即m=0，则x²-2mx=0的解为x=0∈[-4，+∞），符合题意．
（2）若△=4m²＞0，即m≠0时，x²-2mx=0的解为x=0或x=2m，
∵x²-2mx=0在[-4，+∞）上只有一解．∴2m＜-4，解得m＜-2．
综上，实数m的取值范围是（-∞，-2）∪{0}．

点评 本题考查了指数方程，一元二次方程解的个数与系数的关系，属于中档题．