Question

13．若点P是曲线y=e^x上任意一点，则点P到直线y=x-1的最小距离为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设经过点P（x₀，y₀）与直线y=x-1平行且与曲线y=e^x相切的直线为y=x+m．y′=${e}^{{x}_{0}}$，令${e}^{{x}_{0}}$=1，解得x₀，可得切点P，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：设经过点P（x₀，y₀）与直线y=x-1平行且与曲线y=e^x相切的直线为y=x+m．
y′=${e}^{{x}_{0}}$，令${e}^{{x}_{0}}$=1，解得x₀=0，可得切点P（0，1），
∴点P到直线y=x-1的最小距离d=$\frac{|0-1-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了导数的几何意义、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．