Question

5．已知函数f（x）=|x-1|+2014．
（I）解关于x的不等式f（x）＞|x|+2014；
（Ⅱ）若f（|a-4|+3）＞f（（a-4）²+1），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）f（x）＞|x|+2014可化为|x-1|＞|x|，两边平方即可得出结论；
（Ⅱ）f（x）=|x-1|+2014在[1，+∞）上单调递增，|a-4|+3＞1，（a-4）²+1≥1，只需要|a-4|+3＞（a-4）²+1，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（I）f（x）＞|x|+2014可化为|x-1|＞|x|，
∴（x-1）²＞x²，
∴$x＜\frac{1}{2}$，
∴不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{2}$}；
（Ⅱ）∵f（x）=|x-1|+2014在[1，+∞）上单调递增，|a-4|+3＞1，（a-4）²+1≥1，
∴只需要|a-4|+3＞（a-4）²+1，
化简为（|a-4）+1）（|a-4|-2）＜0，
∴|a-4|＜2，解得2＜a＜4．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．