题目内容
7．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列．
分析 （1）设事件A为“两手所取的球不同色”，利用对立事件概率计算公式能求出两只手中所取的球颜色不同的概率．
（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
解答 （本小题满分12分）
解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，
则P（A）=1-$\frac{2×3+3×3+4×3}{9×9}$=$\frac{2}{3}$．…（5分）
（2）依题意，X的可能取值为0，1，2．
左手所取的两球颜色相同的概率为$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{5}{18}$，
右手所取的两球颜色相同的概率为$\frac{{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=0）=（1-$\frac{5}{18}$）（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{13}{18}×\frac{3}{4}$=$\frac{13}{24}$，
P（X=1）=$\frac{5}{18}×（1-\frac{1}{4}）+（1-\frac{5}{18}）×\frac{1}{4}$=$\frac{7}{18}$，
P（X=2）=$\frac{5}{18}×\frac{1}{4}=\frac{5}{72}$，
∴X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{13}{24}$ | $\frac{7}{18}$ | $\frac{5}{72}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
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