Question

2．求证：$\frac{n}{{2}^{n}}$＜$\frac{2}{n-1}$（n≥2，n∈N）

Answer 1

分析 原不等式即为2ⁿ＞$\frac{n（n-1）}{2}$（n≥2，n∈N），由2ⁿ=（1+1）ⁿ，运用二项式定理即可得证．

解答 证明：$\frac{n}{{2}^{n}}$＜$\frac{2}{n-1}$（n≥2，n∈N）即为2ⁿ＞$\frac{n（n-1）}{2}$（n≥2，n∈N），
由2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$+…+${C}_{n}^{n-1}$+1，
当n≥2，n∈N，2ⁿ＞${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，
可得$\frac{n}{{2}^{n}}$＜$\frac{2}{n-1}$（n≥2，n∈N）成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用二项式定理，也可以运用数学归纳法证明，考查化简整理的推理能力，属于中档题．