Question

15．已知f（x）=2sin（x+$\frac{θ}{2}$）cos（x+$\frac{θ}{2}$）+2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{θ}{2}$）-$\sqrt{3}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求该函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得解析式f（x）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$），利用周期公式即可得解；
（2）根据函数解析式，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（x+$\frac{θ}{2}$）cos（x+$\frac{θ}{2}$）+2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{θ}{2}$）-$\sqrt{3}$
=sin（2x+θ）+2$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos（2x+θ）}{2}$-$\sqrt{3}$
=sin（2x+θ）+$\sqrt{3}$cos（2x+θ）
=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵f（x）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$），
∴当sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）=1时，f（x）_max=2，
当sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）=-1时，f（x）_min=-2．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的最值，着重考查周期公式的应用及正弦函数的最值，属于基础题．