Question

5．求证：
（1）$\frac{sinα-cosα+1}{sinα+cosα-1}=\frac{1+sinα}{cosα}$；
（2）2（sin⁶θ+cos⁶θ）-3（sin⁴θ+cos⁴θ）+1=0．

Answer 1

分析 （1）直接利用分析法证明三角恒等式．
（2）利用平方和公式，立方和公式变形化简sin⁴θ+cos⁴θ，sin⁶θ+cos⁶θ，利用同角三角函数间基本关系化简计算即可得证．

解答 证明：（1）要证$\frac{sinα-cosα+1}{sinα+cosα-1}=\frac{1+sinα}{cosα}$，
需要证cosα（sinα-cosα+1）=（1+sinα）（sinα+cosα-1），
即证sinαcosα-cos²α+cosα=sinα+cosα-1+sin²α+sinαcosα-sinα，
也就是证：sin²α+cos²α=1，此式显然成立．
∴$\frac{sinα-cosα+1}{sinα+cosα-1}=\frac{1+sinα}{cosα}$．
（2）∵sin⁴θ+cos⁴θ=（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α=1-2sin²αcos²α，
∴sin⁶θ+cos⁶θ=（sin²α+cos²α）（sin⁴α+cos⁴α-sin²αcos²α）=1-3sin²αcos²α，
∴2（sin⁶θ+cos⁶θ）-3（sin⁴θ+cos⁴θ）+1
=2（1-3sin²αcos²α）-3（1-2sin²αcos²α）+1
=2-6sin²αcos²α-3+6sin²αcos²α+1
=0．
得证．

点评 本题考查了三角恒等式的证明，考查了分析法证明三角恒等式，解题中要注意一些常见式子的变形形式，关键是掌握分析法证题的步骤，属于中档题．