Question

已知f(x)=5sinxcosx-5

3

cos2x+

5

2

3

(x∈R)
（1）求f（x）单调区间；
（2）求函数f（x）的最值及取得最值时x的值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式，平方关系，两角和的正弦函数，化简函数f（x）为一个角的一个三角函数的形式；
（1）将内层函数看作整体，放到正弦函数的单调区间上，解不等式得函数的单调区间；
（2）根据正弦函数的最值求出结果即可．

解答：解：f(x)=5sinxcosx-

5

2

3

(2cos2x-1)…（2分）=5sinxcosx-

5

2

3

cos2x=

5

2

sin2x-

5

2

3

cos2x=5sin(2x-

π

3

)…（4分）
（1）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

2

≤2kπ+

π

2

…（6分）
得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5

12

π
所以函数在(kπ-

π

12

，kπ+

5

12

π)上增，在(kπ+

5

12

π，kπ+

11

12

π)上减…（8分）
（2）f(x)=5sin(2x-

π

3

)
当2x-

π

3

=2kπ+

π

2

即x=kπ+

5

12

π时，y_max=5
当2x-

π

3

=2kπ-

π

2

即x=kπ-

π

12

π时，y_max=-5…（12分）

点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的单调性求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是基础题．