Question

已知f(x)=

ax

ax+ a

．
（1）求f（x）+f（1-x）及f(

1

10

)+f(

2

10

)+…+f(

9

10

)=？
（2）是否存在正整数a，使

a f(n)

f(1-n)

＞n2对一切n∈N都成立．

Answer 1

分析：（1）根据已知中f(x)=

ax

ax+ a

，我们易根据指数的运算性质对f（x）+f（1-x）进行化简，进而求出f（x）+f（1-x）的值，然后利用倒序相加法，即可求出f(

1

10

)+f(

2

10

)+…+f(

9

10

)的值．
（2）根据（1）有结论，我们易将已知中的不等式进行化简，然后利用二次函数的性质及对数函数的性质，即可得到答案．

解答：解：（1）f(x)=

ax

ax+ a

∴f（x）+f（1-x）=

ax

ax+ a

+

a1-x

a(1-x)+ a

=1
∴2[f(

1

10

)+f(

2

10

)+…+f(

9

10

)]=9
∴f(

1

10

)+f(

2

10

)+…+f(

9

10

)=

9

2

（2）由（1）得
f（1-n）=1-f（n）=

a

an+ a

∴

a f(n)

f(1-n)

=

a • an an+ a

a  an+ a

=aⁿ
则原不等式可化为：aⁿ＞n²
∵当a≥3时，aⁿ＞n²恒成立，
故存在正整数a≥3，使

a f(n)

f(1-n)

＞n2对一切n∈N都成立．

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用、指数的运算性质，其中根据已知条件求出f（x）+f（1-x）=1是解答本题的关键．