Question

7．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F，短轴长为2，点M为椭圆E上一个动点，且|MF|的最大值为$\sqrt{2}+1$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点M的坐标为$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，点A，B为椭圆E上异于点M的不同两点，且直线x=1平分∠AMB，求直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=1，a+c=$\sqrt{2}+1$，且a²-c²=1，解得a，c，进而得到椭圆方程；
（2）设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），设直线MA的方程为$y-\frac{{\sqrt{2}}}{2}=k（x-1）$，联立椭圆方程，运用韦达定理可得A的横坐标，同理B的横坐标，再由直线的斜率公式，计算化简整理即可得到所求值．

解答 解：（1）由题意可得2b=2，即b=1，
|MF|的最大值为$\sqrt{2}+1$，可得a+c=$\sqrt{2}+1$，
且a²-c²=1，得a=$\sqrt{2}$，c=1，
则椭圆E的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；               
（2）设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由题意可知直线MA的斜率存在，设直线MA的方程为$y-\frac{{\sqrt{2}}}{2}=k（x-1）$，
由$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{{\sqrt{2}}}{2}=k（x-1）\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$得${x^2}+2[kx+（\frac{{\sqrt{2}}}{2}-k）{]^2}=2$，
即为$（2{k^2}+1）{x^2}+k（2\sqrt{2}-4k）x+（1-\sqrt{2}k{）^2}-2=0$，
则$1•{x_1}=\frac{{{{（1-\sqrt{2}k）}^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，即${x_1}=\frac{{{{（1-\sqrt{2}k）}^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，
因为直线x=1平分∠AMB，所以直线MA，MB的倾斜角互补，斜率互为相反数．
同理${x_2}=\frac{{{{（1+\sqrt{2}k）}^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，
则${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{k{x_1}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}-k-（-k{x_2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}+k）}}{{{x_1}-{x_2}}}$
=$\frac{{k（{x_1}+{x_2}）-2k}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{k•\frac{{2+4{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}-2k}}{{\frac{{-4\sqrt{2}k}}{{2{k^2}+1}}}}$
=$\frac{{k（4{k^2}-2）-2k（2{k^2}+1）}}{{-4\sqrt{2}k}}$=$\frac{{2{k^2}-1-（2{k^2}+1）}}{{-2\sqrt{2}}}$=$\frac{-2}{{-2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用短轴长和椭圆上的点与焦点的距离的最值，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理的运算能力，属于中档题．