Question

12．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y=-1相切于点N．
（1）求C的方程；
（2）若圆M与直线x=-$\frac{3}{2}$相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．

Answer 1

分析 （1）利用梯形的中位线定理和抛物线的性质列出方程解出p即可；
（2）设l斜率为k，联立方程组解出AB的中点即M的坐标，根据切线的性质列方程解出k即可得出l的方程和圆的圆心与半径．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=y₁+y₂+p，
又∵以AB为直径的圆M与直线y=-1相切，
∴|AB|=y₁+y₂+2，故p=2，
∴抛物线C的方程为x²=4y．
（2）设直线l的方程为y=kx+1，代入x²=4y中，
化简整理得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2=4{k^2}+2$，
∴圆心的坐标为M（2k，2k²+1），
∵圆M与直线$x=-\frac{3}{2}$相切于点Q，
∴|MQ|=|MN|，
∴$|2k+\frac{3}{2}|=|2{k^2}+2|$，解得$k=\frac{1}{2}$，
此时直线l的方程为$y=\frac{1}{2}x+1$，即x-2y+2=0，
圆心$M（1，\frac{3}{2}）$，半径$r=\frac{5}{2}$，
∴圆M的方程为${（x-1）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}={（\frac{5}{2}）^2}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，切线的性质，属于中档题．