Question

已知数列{a_n}，S_n是其前n项的和，且满足3a_n=2S_n+n（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{a_n+

1

2

}为等比数列；
（Ⅱ）记T_n=S₁+S₂+…+S_n，求T_n的表达式．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由3a_n=2S_n+n，类比可得3a_n-1=2S_n-1+n-1（n≥2），两式相减，整理即证得数列{a_n+

1

2

}是以

3

2

为首项，3为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+

1

2

=

1

2

•3ⁿ⇒a_n=

1

2

（3ⁿ-1），S_n=

3n+1-3

4

-

n

2

，分组求和，利用等比数列与等差数列的求和公式，即可求得T_n的表达式．

解答： （Ⅰ）证明：∵3a_n=2S_n+n，
∴3a_n-1=2S_n-1+n-1（n≥2），
两式相减得：3（a_n-a_n-1）=2a_n+1（n≥2），
∴a_n=3a_n-1+1（n≥2），
∴a_n+

1

2

=3（a_n-1+

1

2

），又a₁+

1

2

=

3

2

，
∴数列{a_n+

1

2

}是以

3

2

为首项，3为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得a_n+

1

2

=

3

2

•3^n-1=

1

2

•3ⁿ，
∴a_n=

1

2

•3ⁿ-

1

2

=

1

2

（3ⁿ-1），
∴S_n=

1

2

[（3+3²+…+3ⁿ）-n]=

1

2

（

3(1-3n)

1-3

-n）=

3n+1-3

4

-

n

2

，
∴T_n=S₁+S₂+…+S_n=

1

4

（3²+3³+…+3ⁿ+3ⁿ⁺¹）-

3n

4

-

1

2

（1+2+…+n）
=

1

4

•

32(1-3n)

1-3

-

3n

4

-

(1+n)n

4

=

3n+2-9

8

-

n2+4n

4

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查分组求和，熟练应用等比数列与等差数列的求和公式是关键，属于难题．