Question

14．已知直线l₁：mx-y+1-4m=0（m∈R），l₂：3x-4y-21=0．圆C满足条件：①经过点P（3，5）；②当m=0时，被直线l₁平分；③与直线l₂相切．
（1）求圆C的方程；
（2）对于m∈R，求直线l₁与圆C相交所得的弦长为整数的弦共有几条．

Answer 1

分析 （1）由②可知圆C的圆心在直线y=1上，由①③，圆心到点P与到直线l₂的距离相等，解得a，r的值，可得圆C的方程；
（2）直线l₁过定点M（4，1），分类讨论可得不同情况下直线l₁与圆C相交所得的弦长为整数的弦的条数，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）由②可知圆C的圆心在直线y=1上，…（1分）
故可设圆C的方程为（x-a）²+（y-1）²=r²（r＞0）
由①③，圆心到点P与到直线l₂的距离相等，
即$r=\sqrt{{{（a-3）}^2}+{{（1-5）}^2}}=\frac{{|{3a-4×1-21}|}}{{\sqrt{{3^2}+{{（-4）}^2}}}}$，…（3分）
解得a=0，r=5．
所以，圆C的方程为x²+（y-1）²=25…（6分）
（2）由mx-y+1-4m=0可得：（x-4）m-y+1=0
令$\left\{\begin{array}{l}x-4=0\\-y+1=0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=1\end{array}\right.$
∴直线l₁过定点M（4，1）…（7分）
又4²+（1-1）²=16＜25∴M（4，1）在⊙C内，
∴直线l₁与⊙C交于两点，设为A，B．
当直线l₁过圆心C时，AB取最大值10，此时m=0
当直线l⊥MC时，AB取最小值，MC=4，
∴$AB=2\sqrt{25-16}=6$，而此时m不存在，
所以，6＜AB≤10…（10分）
故弦长为整数的值有AB=7，AB=8，AB=9各有2条，而AB=10时有1条，
故弦长为整数的弦共有7条．…（12分）

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，难度中档．