Question

11．若关于x的方程25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m=0有实根，求m的取值范围．
变题1：设有两个命题：①关于x的方程9^x+（4+a）•3^x+4=0有解；②函数$f（x）={log_{2{a^2}-a}}x$是减函数．当①与②至少有一个真命题时，实数a的取值范围是$（{-∞，-8}]∪（{-\frac{1}{2}，0}）∪（{\frac{1}{2}，1}）$
变题2：方程x²-2ax+4=0的两根均大于1，则实数a的取值范围是$[{2，\frac{5}{2}}）$．

Answer 1

分析 令t=5^-|x+1|，则t∈（0，1]，方程25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m=0可化为：m=t²-4t，此时函数为减函数，进而可得m的取值范围．
变题1：令t=3^x，则t∈（0，+∞），方程9^x+（4+a）•3^x+4=0可化为：a=-（t+$\frac{4}{t}$）-4，结合基本不等式可得：①为真时实数a的取值范围；
若函数$f（x）={log_{2{a^2}-a}}x$是减函数，则$\left\{\begin{array}{l}2{a}^{2}-a＞0\\ 2{a}^{2}-a≠1\end{array}\right.$，解得：②为真时实数a的取值范围；综合可得答案；
变题2：方程x²-2ax+4=0的两根均大于1，则$\left\{\begin{array}{l}△=4{a}^{2}-16≥0\\ a＞1\\ 1-2a+4＞0\end{array}\right.$，解得实数a的取值范围．

解答 解：令t=5^-|x+1|，则t∈（0，1]，方程25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m=0可化为：m=t²-4t，
此时函数为减函数，
当t=0时，m=0，当t=1时，m=-3，
∴m∈[-3，0）；
变题1：令t=3^x，则t∈（0，+∞），方程9^x+（4+a）•3^x+4=0可化为：a=-（t+$\frac{4}{t}$）-4≤-2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$-4=-8，
即①为真时，a≤-8，
若函数$f（x）={log_{2{a^2}-a}}x$是减函数，则$\left\{\begin{array}{l}2{a}^{2}-a＞0\\ 2{a}^{2}-a≠1\end{array}\right.$，
解得：a∈$（-\frac{1}{2}，0）∪（\frac{1}{2}，1）$，
若①与②至少有一个真命题，
则实数a的取值范围是：$（{-∞，-8}]∪（{-\frac{1}{2}，0}）∪（{\frac{1}{2}，1}）$，
变题2：方程x²-2ax+4=0的两根均大于1，
则$\left\{\begin{array}{l}△=4{a}^{2}-16≥0\\ a＞1\\ 1-2a+4＞0\end{array}\right.$，
解得：a∈$[{2，\frac{5}{2}}）$
故答案为：$（{-∞，-8}]∪（{-\frac{1}{2}，0}）∪（{\frac{1}{2}，1}）$；$[{2，\frac{5}{2}}）$

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了方程根与函数零点的关系，指数函数与对数函数的图象和性质等知识点，难度中档．