Question

2．如图在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：平面AA₁C₁C⊥平面A₁BD
（2）求直线A₁B与平面A₁B₁CD所成的角．

Answer 1

分析 （1）利用正方形与正方体的性质可得：BD⊥平面AA₁C₁C，再利用面面垂直的判定定理即可证明；
（2）：连接C₁B，交B₁C于点O，连接A₁O．则BO⊥平面A₁B₁CD，可得∠OA₁B为直线A₁B与平面A₁B₁CD所成的角．利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 （1）证明：由ABCD是正方形可得：BD⊥AC，
由正方体的性质可得：AA₁⊥BD，
而AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，
而BD?平面A₁BD，
∴：平面AA₁C₁C⊥平面A₁BD．
（2）解：连接C₁B，交B₁C于点O，连接A₁O．
则BO⊥平面A₁B₁CD，
∴∠OA₁B为直线A₁B与平面A₁B₁CD所成的角．
∵sin∠OA₁B=$\frac{OB}{{A}_{1}B}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OA₁B=$\frac{π}{6}$．
∴直线A₁B与平面A₁B₁CD所成的角$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．