Question

19．某地为了庆祝国庆66周年，现计划在城市中心广场搭建一个巨型花篮（如图甲）．其中主体框梨（如图乙）准备用钢材焊接而成，具体设计方案如下：①上、中、下三部分依次由正六棱台、正六棱柱、正六棱台组成；②这三个几何体的侧面用于张贴宣传城市风光的图片，且侧面积之和为108m²；③BC：B₁C₁：B₃C₃=1：2：4，∠BB₁C₁=∠B₂B₃C₃=α，且sinα=$\frac{4}{5}$，设BC=xm，B₁B₂=ym．
（1）试将y表示为x的函数，并求函数的定义城；
（2）当x为多少时，焊接主体框架的钢材用料最省？

Answer 1

分析 （1）由题意画出下面四棱台的一个侧面等腰梯形，求出斜高，同理得到上面四棱台一侧面的斜高，利用侧面积的和列式得到关于x，y的关系式，即可将y表示为x的函数，并求函数的定义城；
（2）把几何体的所有棱长用x表示，然后利用基本不等式求得最值．

解答 解：（1）如图所示等腰梯形，由BC=x，且BC：B₁C₁=1：2，得B₁C₁=2x，
过B作BE⊥B₁C₁于E，
在Rt△B₁EB中，由${B}_{1}E=\frac{x}{2}$，sin$α=\frac{4}{5}$，得cosα=$\frac{3}{5}$，tan$α=\frac{4}{3}$，∴BE=$\frac{2}{3}x$，
同理可得最上面正六棱台的上底为4x，斜高为$\frac{4}{3}x$，
∴几何体的侧面积为S=6[$\frac{1}{2}（x+2x）•\frac{2}{3}x+2xy+\frac{1}{2}（2x+4x）•\frac{4}{3}x$]=108，
整理得：$y=\frac{9}{x}-\frac{5}{2}x$（x＞0），
（2）焊接主体框架所用钢材为L=6（9x+$\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}x$+y）=6（11x+$\frac{9}{x}-\frac{5}{2}x$）=6（$\frac{17}{2}x+\frac{9}{x}$）$≥6×2\sqrt{\frac{17}{2}x•\frac{9}{x}}=18\sqrt{34}$．
当且仅当$\frac{17}{2}x=\frac{9}{x}$，即x=$\frac{3\sqrt{34}}{17}$时等号成立．
∴当x=$\frac{3\sqrt{34}}{17}$（m）时用料最省．

点评 本题考查柱、锥、台体的体积，考查简单的建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．