Question

【题目】已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合是“垂直对点集” .给出下列四个集合：

① ；

②；

③ ；

④.

其中是“垂直对点集”的序号是（ ）.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由题意可得：集合是“垂直对点集”，即满足：曲线上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直，对①、②、③、④逐个分析即可.

由题意知，若集合是“垂直对点集”，则对于任意，存在，使成立，因此，

①，其图象向左向右和轴无限接近，向上和轴无限接近，据幂函数的图象和性质可知，在图象上任取一点，连，过原点作的垂线必与的图象相交，即一定存在点，使得成立，故是“垂直对点集”；

②，（），取，则不存在点（），满足，因此不是“垂直对点集”；

③，其图象过点，且向右向上无限延展，向左向下无限延展，据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作的垂线必与的图象相交，即一定存在点，使得成立，故是“垂直对点集”；

④，在图象上任取一点，连，过原点作直线的垂线，因为的图象沿轴向左向右无限延展，且与轴相切，因此直线总会与的图象相交，故是“垂直对点集”，

综上可得：只有①③④是“垂直对点集”．

故选：C