Question

已知函数f(x)＝log_kx(k为常数，k＞0且k≠1)，且数列{f(a_n)}是首项为4，公差为2的等差数列。

（1）求证：数列{a_n}是等比数列；

（2）若b_n＝a_n·f(a_n)，当k＝时，求数列{b_n}的前n项和S_n。

Answer 1

（1）证明：由题意知f(a_n)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，        …………(2分)

即log_ka_n＝2n＋2，∴a_n＝k^2n＋2，                      …………(3分)

∴.                           …………(5分)

∵常数k＞0且k≠1，∴k²为非零常数，

∴数列{a_n}是以k⁴为首项，k²为公比的等比数列。      …………(6分)

（2）由（1）知，b_n＝a_nf(a_n)＝k^2n＋2·(2n＋2)，

当k＝时，b_n＝(2n＋2)·2^n＋1＝(n＋1)·2^n＋2.        …………(8分)

∴S_n＝2·2³＋3·2⁴＋4·2⁵＋…＋(n＋1)·2^n＋2，  ①

2S_n＝2·2⁴＋3·2⁵＋…＋n·2^n＋2＋(n＋1)·2 ^n＋3， ②      …………(10分)

②－①，得S_n＝―2·2³―2⁴―2⁵―…―2^n＋2＋(n＋1)·2^n＋3   

＝―2³―(2³＋2⁴＋2⁵＋…＋2^n＋2)＋(n＋1)·2^n＋3,

∴S_n＝―2³―＋(n＋1)·2^n＋3＝n·2^n＋3.    …………(12分)