Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a²+b²-c²-ab=0．若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，则ab的最小值为（　　）

• A． 24
• B． 12
• C． 6
• D． 4

Answer 1

分析 由题意和余弦定理可得C的值，进而由面积公式可得c和ab的关系，代入已知式子由基本不等式可得ab的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵a²+b²-c²-ab=0，
∴a²+b²-c²=ab，
∴由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{3}$，
∵△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∴$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∴$\frac{1}{2}$ab•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∴c=$\frac{1}{2}$ab，
代入已知式子可得a²+b²-$\frac{1}{4}$（ab）²-ab=0，
∴$\frac{1}{4}$（ab）²+ab=a²+b²≥2ab，
整理可得（ab）²-4ab≥0，
解关于ab的不等式可得ab≥4，或ab≤0（舍去），
当且仅当a=b=2时取到等号，
∴ab的最小值为4，
故选：D．

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式和不等式的解法，属中档题．