Question

15．设$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$为非零向量且相互不共线，下面四个命题：其中正确的是（　　）
$（1）（{\overrightarrow a•\overrightarrow b}）•\overrightarrow c-（{\overrightarrow a•\overrightarrow c}）•\overrightarrow b=0$；            
$（2）|{\overrightarrow a}|-|{\overrightarrow b}|＜|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$；
$（3）（{\overrightarrow b•\overrightarrow c}）•\overrightarrow a-（{\overrightarrow a•\overrightarrow c}）•\overrightarrow b不与\overrightarrow c垂直$；    
 $（4）（{3\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）•（{3\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）=9{|{\overrightarrow a}|^2}-4{|{\overrightarrow b}|^2}$．

• A． （1）（2）
• B． （2）（3）
• C． （3）（4）
• D． （2）（4）

Answer 1

分析 利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积公式，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：由于$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$为非零向量且相互不共线，
故有 （1）（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{c}$-μ$\overrightarrow{b}$≠0，λ、μ均不为零，故（1）错误；
（2）|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|成立，故（2）正确；
（3）（$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{a}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{b}$表示一个与$\overrightarrow{a}$共线的向量减去一个与$\overrightarrow{b}$共线的向量，它可能与$\overrightarrow{c}$垂直，故（3）错误；
（4）（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=9${\overrightarrow{a}}^{2}$-4${\overrightarrow{b}}^{2}$=9${|\overrightarrow{a}|}^{2}$-4${|\overrightarrow{b}|}^{2}$，故（4）正确，
故选：D．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．