Question

6．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}ln（\sqrt{{x^2}+1}-x），x≥0\\ ln（\sqrt{{x^2}+1}+x），x＜0\end{array}$，则不等式f（2x-1）＞f（3）的解集为（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-1，2）
• D． （-∞，-1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式先判断函数f（x）是偶函数，然后判断当x≥0时函数为减函数，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．

解答 解：由分段函数得f（0）=0，
若x＜0，则-x＞0，此时f（-x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），则f（-x）=f（x），
若x＞0，则-x＜0，此时f（-x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），则f（-x）=f（x），
综上恒有则f（-x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，
当x≥0时，f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=ln$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$=-ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），
∵当x≥0时y=x是增函数，y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$是增函数，∴y=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+1）是增函数，而y=-ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+1）是减函数，
则不等式f（2x-1）＞f（3）等价为不等式f（|2x-1|）＞f（3），
即|2x-1|＜3，得-3＜2x-1＜3，得-1＜x＜2，
即不等式的解集为（-1，2），
故选：C．

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．