Question

15．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为23cm²，该该几何体的体积为$\frac{23}{3}$cm³．

Answer 1

分析 由三视图知该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，由正方体的性质求出棱长，由面积公式求出几何体的表面积；根据柱体、椎体的体积公式求出该几何体的体积．

解答 解：根据三视图可知几何体是：
一个正方体截去一个三棱锥P-ABC所得的组合体，
直观图如图所示：其中A、B是棱的中点，
正方体的棱长是2cm，则PA=PB=$\sqrt{5}$cm，AB=$\sqrt{2}$cm，
∴△PAB边AB上的高线为$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（cm），
∴该几何体的表面积：
S=$6×2×2-2×\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×1+\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$
=23（cm²），
该几何体的体积V=$2×2×2-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$=$\frac{23}{3}$（cm³），
故答案为：23cm²；$\frac{23}{3}$cm³．

点评 本题考查由三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．