Question

如图，长方体中，，点E是AB的中点.

（1）求三棱锥的体积;
（2）证明： ; 
（3）求二面角的正切值.

Answer 1

（1）1；（2）详见解析；（3）

试题分析：（1）求四面体的体积，当高不好确定时候，可考虑等体积转化，该题中,高,可求体积；（2）证明直线和直线垂直，可先证明直线和平面垂直，由，从而面，所以，（3） 求二面角的平面角，可以利用几何法，先找到二面角的平面角，然后借助平面图形去计算，∵，所以,进而可证,就是的平面角，二面角也可以利用空间向量法，建立适当的空间直角坐标系，把相关点的坐标表示出来，计算两个半平面的法向量，进而求法向量的夹角，然后得二面角的余弦值.
试题解析：（1）解：在三棱锥D₁－DCE中，D₁D⊥平面DCE，D₁D=1
在△DCE中，，
CD＝2，CD²=CE²+DE²  ∴CE⊥DE.
∴
∴三棱锥D₁－DCE的体积. =                    4分
（2）证明：连结AD₁，由题可知：四边形ADD₁A₁是正方形
∴A₁D⊥AD₁ 又∵AE⊥平面ADD₁A₁，A₁D平面ADD₁A₁
∴AB⊥AD₁ 又∵AB平面AD₁E，AD₁平面A D₁E  ABAD₁＝A
∴A₁D⊥平面AD₁E 又∵D₁E平面AD₁E
∴A₁D⊥D₁E                                               8分
（3）根据题意可得：D₁D⊥平面ABCD
又因为CE平面ABCD，所以D₁D⊥CE。
又由（1）中知，DE⊥CE，D₁D平面D₁DE，DE平面D₁DE，D₁DDE=D，
∴CE⊥平面D₁DE，又∵D₁E平面D₁DE ∴CE⊥D₁E.
∴∠D₁ED即为二面角D₁―EC―D的一个平面角.
在Rt△D₁DE中，∠D₁DE=90°,D₁D="1," DE=
∴ 
∴二面角D₁―ED―D的正切值是                         12分