Question

4．函数f（x）=$\frac{2}{x}$-ln（x-1）的零点所在的大致区间为（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，3）
• C． （3，4）
• D． （1，2）与（2，3）

Answer 1

分析 根据所给的几个区间看出不在定义域中的区间去掉，把所给的区间的两个端点的函数值求出，若一个区间对应的函数值符号相反，得到结果．

解答 解：因为x＞0时，-ln（x+1）和$\frac{2}{x}$都是减函数
所以f（x）在x＞1是减函数，所有最多一个零点，
f（2）=1-ln1＞0，f（3）=$\frac{2}{3}$-ln2=$\frac{2-3ln2}{3}$=$\frac{2-ln8}{3}$，
因为$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$≈2.828，
所以$\sqrt{8}$＞e，
故lne＜ln$\sqrt{8}$，
即1＜$\frac{1}{2}$ln$\sqrt{8}$，
所以2＜ln8，
所以f（2）f（3）＜0
所以函数的零点在（2，3）之间．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是求出区间的两个端点的函数值，进行比较，本题是一个基础题．