Question

9．一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当x等于$\frac{a}{6}$时，方盒的容积最大．

Answer 1

分析 根据条件求出容积的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值，由导数可得在x=$\frac{a}{6}$时函数V（x）有最大值．

解答 解：由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，
所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a-2x，高为x，
则无盖方盒的容积V（x）=（a-2x）²x，0＜x＜$\frac{a}{2}$
即V（x）=（a-2x）²x=4x³-4ax²+a²x，0＜x＜$\frac{a}{2}$；
V′（x）=12x²-8ax+a²=（6x-a）（2x-a），
∴当x∈（0，$\frac{a}{6}$）时，V′（x）＞0；
当x∈（$\frac{a}{6}$，$\frac{a}{2}$）时，V′（x）＜0；
故x=$\frac{a}{6}$是函数V（x）的最大值点，
即当x=$\frac{a}{6}$时，方盒的容积V最大．
故答案为：$\frac{a}{6}$

点评 本题主要考查生活中的应用问题，根据条件建立函数关系，求函数的导数，利用导数求函数的最值是解决本题的关键．