Question

6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2sinA，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos²$\frac{A}{2}$-1，cos2A），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求锐角A的大小；
（Ⅱ）如果b=2，c=6，AD⊥BC于D，求AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两向量垂直得到tan2A=-$\sqrt{3}$，由此得到A．
（Ⅱ）由余弦定理得到a，再由三角形面积公式得到AD的长．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2sinA，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos²$\frac{A}{2}$-1，cos2A），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sinA（2cos²A-1）+$\sqrt{3}$cos2A=sin2A+$\sqrt{3}$cos2A=0，
∴tan2A=-$\sqrt{3}$，
∵A为锐角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=28，
∴a=2$\sqrt{7}$，
∵△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$a•AD，
∴AD=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查两向量垂直的坐标表示和余弦定理以及三角形面积公式．