Question

17．已知函数$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）+2{cos^2}x$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间$[0\;，\;\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两角差的正弦公式以及二倍角公式和辅助角公式化简函数，由此得到周期．
（Ⅱ）由x的范围得到2x+$\frac{π}{6}$的范围，由此确定最大值与最小值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+1+cos2x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+1$
=$sin（2x+\frac{π}{6}）+1$
所以f（x）的最小正周期T=π．
（Ⅱ）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，
$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}\;，\;\frac{7π}{6}]$．
∴当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
即$x=\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值2；
当$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$，即$x=\frac{π}{2}$时，
f（x）取得最小值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简，以及由x的范围确定最值，熟记公式是解决本题的关键．