Question

14．已知函数f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
（1）判断f（x）的单调性并用定义法证明；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，根据指数函数的单调性便可判断出f（x₁）＜f（x₂），从而得出f（x）在R上单调递增；
（2）可知f（x）在原点有定义，再由f（x）为奇函数便可得出f（0）=0，这样即可求出$a=\frac{1}{2}$；
（3）由（2）便得到$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}$，由指数函数的值域及不等式的性质便可得出f（x）的范围，即得出f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）的定义域为R，设x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$；
∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上单调递增；
（2）∵f（x）定义域为R；
∴若f（x）为奇函数，则：f（0）=$a-\frac{1}{2}=0$；
∴$a=\frac{1}{2}$；
（3）f（x）为奇函数时，a=$\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}$；
∵2^x+1＞1；
∴$0＜\frac{1}{{2}^{x}+1}＜1$；
∴$-1＜-\frac{1}{{2}^{x}+1}＜0$；
∴$-\frac{1}{2}＜f（x）＜\frac{1}{2}$；
∴f（x）的值域为$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$．

点评 考查函数单调性的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，以及奇函数的定义，奇函数在原点有定义时满足f（0）=0，指数函数的单调性，指数函数的值域，以及不等式的性质．