Question

1．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinωx，cosωx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosωx，cosωx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（ω＞0），若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，且f（x）的图象上两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c=$\sqrt{3}$，f（C）=$\frac{1}{2}$，b=2a，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用数量积的坐标运算得到f（x）的解析式，降幂后利用两角和的正弦化简，根据f（x）的图象上两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$求得ω值，得到具体的函数解析式，再由相位位于正弦函数的减区间内求得x的范围得答案；
（Ⅱ）由f（C）=$\frac{1}{2}$求得C，写出余弦定理，结合b=2a联立方程组求得a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinωx，cosωx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosωx，cosωx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sinωxcosωx+（cosωx-\frac{\sqrt{2}}{2}）（cosωx+\frac{\sqrt{2}}{2}）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+co{s}^{2}ωx-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1+cos2ωx}{2}-\frac{1}{2}$=$sin（2ωx+\frac{π}{6}）$．
∵f（x）的图象上两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，∴$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，即T=π．
∴2$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，
则$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$．
由2kπ$≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z．
∴f（x）的单调递减区间为[$kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=$\frac{1}{2}$，得$sin（2C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴2C$+\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}$），则$2C+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，C=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理得：$（\sqrt{3}）^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-2abcos\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab=3，①
又b=2a，②
联立①②解得：a=1，b=2．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，训练了利用余弦定理求解三角形，属中档题．