Question

15．已知sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，α∈（0，π），则$\frac{sinα-cosα}{{sin\frac{7π}{12}}}$的值为$\frac{\sqrt{17}（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{3}$．

Answer 1

分析 由已知两边平方可得2sinαcosα=-$\frac{8}{9}$，从而可求（sinα-cosα）²=$\frac{17}{9}$，结合范围α∈（0，π），解得sinα-cosα=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值可求sin$\frac{7π}{12}$的值，从而计算得解．

解答 解：∵sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，
∴两边平方可得：1+2sinαcosα=$\frac{1}{9}$，可得2sinαcosα=-$\frac{8}{9}$，
又∵（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1+$\frac{8}{9}$=$\frac{17}{9}$，
∵α∈（0，π），且2sinαcosα＜0，可得：α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴sinα＞0，cosα＜0，从而sinα-cosα＞0，
∴sinα-cosα=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，
又∵sin$\frac{7π}{12}$=sin（$\frac{π}{4}+\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{3}$+cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
∴$\frac{sinα-cosα}{{sin\frac{7π}{12}}}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$×$\frac{4}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{17}（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{17}（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{3}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，三角函数的图象和性质在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．