Question

19．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设直角边长为a，b，则斜边长为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，利用直角三角形ABC的三边之和为2，可得a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2，利用基本不等式，即可求△ABC的面积的最大值．

解答 解：设直角边长为a，b，则斜边长为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∵直角三角形ABC的三边之和为2，
∴a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2，
∴2≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$，
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{2}{2+\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$，
∴ab≤6-4$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$ba≤3-2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面积的最大值为3-2$\sqrt{2}$．
故答案为：3-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键，属于中档题．