Question

设函数f(x)定义在(l，l)上．证明f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．

Answer 1

答案：
解析：

证明：由于对任意的x∈(－l，l)，也必有－x∈(－l，l)． 　　可见，f(－x)的定义域也是(－l，l)． 　　若设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)． 　　则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的区间． 　　而且F(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]＝f(x)＋f(－x)＝F(x)． 　　G(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x) 　　＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)． 　　所以F(x)为偶函数，G(x)为奇函数．

提示：

在此联想与奇偶函数有关的重要结论，请同学们自己证明． 　　(1)两个奇函数的和仍为奇函数； 　　(2)两个偶函数的和仍为偶函数； 　　(3)两个奇函数的积是偶函数； 　　(4)两个偶函数的积是偶函数； 　　(5)一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． 　　(注：上面所说的函数都定义在同一的、关于原点对称的定义域上) 　　以上这些结论要熟悉，对我们处理问题很有帮助．