Question

设函数f(x)定义在（0，+∞）上，f(1)=0，导函数，g(x)=f(x)+f′(x)，
（Ⅰ）求g(x)的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论g(x)与的大小关系；
（Ⅲ）是否存在x₀＞0，使得|g(x)-g(x₀)|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设易知f(x)=lnx，，
∴，令g′(x)=0得x=1，
当x∈（0，1）时，g′(x)＜0，故（0，1）是g(x)的单调减区间；
当x∈(1，+∞)时，g′(x)＞0，故(1，+∞)是g(x)的单调增区间，
因此，x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以最小值为g(1)=1。
（Ⅱ），
设，则，
当x=1时，h(1)=0，即，
当时，，，
因此，h(x)在(0，+∞)内单调递减；
当0＜x＜1时，，即；
当x＞1时，，即；
（Ⅲ）满足条件的x₀不存在；
证明如下：假设存在，使对任意x＞0成立，
即对任意x＞0，有，（*）
但对上述，取时，有，这与(*)左边不等式矛盾；
因此，不存在，使对任意x＞0成立。