Question

设函数f（x）=

3

sin

πx

m

，若存在f（x）的极值点x₀满足x₀²+[f（x₀）]²＜m²，则m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-6）∪（6，+∞）
• B、（-∞，-4）∪（4，+∞）
• C、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：由题意可得，f（x₀）=±

3

，且

πx0

m

=kπ+

π

2

，k∈z，再由题意可得当m²最小时，|x₀|最小，而|x₀|最小为

1

2

|m|，可得m² ＞

1

4

m²+3，由此求得m的取值范围．

解答： 解：由题意可得，f（x₀）=±

3

，且

πx0

m

=kπ+

π

2

，k∈z，即 x₀=

2k+1

2

m．
再由x₀²+[f（x₀）]²＜m²，可得当m²最小时，|x₀|最小，而|x₀|最小为

1

2

|m|，
∴m² ＞

1

4

m²+3，∴m²＞4．
求得 m＞2，或m＜-2，
故选：C．

点评：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．