Question

已知函数f（x）=log₂（x-1）．
（1）设g（x）=f（x）+a，若函数y=g（x）在（2，3）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）设h（x）=f（x）+

m

f(x)

，是否存在正实数m，使得函数y=h（x）在[3，9]内的最大值为4．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）运用根的存在性定理求解．
（2）换元法，转化为个h（t）=t+

m

t

，t∈[1，3]，利用单调性求解．

解答： 解：（1）∵g（x）=f（x）+a，f（x）=log₂（x-1）．
∴g（x）=log₂（x-1）+a，x∈（2，3）
∵g（x）是增函数，g（x）在（2，3）有且仅有一个零点，
∴g（2）×g（3）＜0，a．（a+1）＜0
即-1＜a＜0
实数a的取值范围（-1，0）
（2）设h（x）=f（x）+

m

f(x)

，t=f（x）则设h（t）=t+

m

t

，t∈[1，3]，m＞0
当

m

≤1时h（t），t∈[1，3]，为增函数，3+

m

3

=4，m=3，不符合题意；
当

m

≥3时h（t），t∈[1，3]，为减函数，1+

m

1

=4，m=3，不符合题意；
当1＜

m

＜3时最大值4只有在t=1，或t=3上取的，根据前面做的知m=3，符合题意，
所以存在m=3使函数y=h（x）在[3，9]内的最大值为4

点评：本题考察了整体换元，根的存在性定理，对钩函数单调性等问题，综合性较大．